【題目】已知頂點為原點的拋物線,焦點在軸上,直線與拋物線交于、兩點,且線段的中點為.
(1)求拋物線的標準方程.
(2)若直線與拋物線交于異于原點的、兩點,交軸的正半軸于點,且有,直線,且和有且只有一個公共點,請問直線是否恒過定點?若是,求出定點坐標;若不是,說明理由.
【答案】(1);(2)是,直線過定點.
【解析】
(1)設(shè)拋物線的標準方程為,求出點的坐標,將點的坐標代入拋物線的方程,求出的值,由此可求得拋物線的標準方程;
(2)設(shè)點,,,由條件可得出,可求出直線的斜率,由此可設(shè)直線的方程為,與拋物線的方程聯(lián)立,由可得出,分與兩種情況討論,求出直線的方程,即可得出直線所過定點的坐標.
(1)由題意設(shè)拋物線的標準方程為,
因為的中點為,所以的坐標為,
將點的坐標代入拋物線的方程,得,可得,
因此,拋物線的標準方程為;
(2)由(1)知,設(shè),,
因為,則,
由,可得,即,所以,直線的斜率,
因為直線,設(shè)直線的方程為,
代入拋物線的方程可得,
因為且和有且只有一個公共點,可得,解得,
設(shè),則,,即,
當(dāng)時,,
可得直線的方程為,
由時,代入整理,即直線恒過定點;
當(dāng),直線的方程為,過點,
綜上,可知直線過定點.
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【題目】已知函數(shù),
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,證明曲線分別在點和點處的切線為不同的直線;
(3)已知過點能作曲線的三條切線,求,所滿足的條件.
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【題目】如圖所示,三棱錐S一ABC中,△ABC與△SBC都是邊長為1的正三角形,二面角A﹣BC﹣S的大小為,若S,A,B,C四點都在球O的表面上,則球O的表面積為( )
A.πB.πC.πD.3π
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【題目】現(xiàn)有9位身高各異的同學(xué)拍照留念,分成前后兩排,前排4人,后排5人,要求每排同學(xué)的身高從中間到兩邊依次遞減,則不同的排隊方式有________種.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象的一個最高點為(),與之相鄰的一個對稱中心為,將f(x)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,則( )
A.g(x)為偶函數(shù)
B.g(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為
C.g(x)為奇函數(shù)
D.函數(shù)g(x)在上有兩個零點
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【題目】由甲乙兩位同學(xué)組成一個小組參加年級組織的籃球投籃比賽,共進行兩輪投籃,每輪甲乙各自獨立投籃一次,并且相互不受影響,每次投中得2分,沒投中得0分.已知甲同學(xué)每次投中的概率為,乙同學(xué)每次投中的概率為
(1)求第一輪投籃時,甲乙兩位同學(xué)中至少有一人投中的概率;
(2)甲乙兩位同學(xué)在兩輪投籃中,記總得分為隨機變量ξ,求ξ的分布列和期望.
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【題目】已知拋物線C:y2=2x,過點E(a,0)的直線l與C交于不同的兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),且滿足y1y2=﹣4,以Q為中點的線段的兩端點分別為M,N,其中N在x軸上,M在C上,則a=_____.|PM|的最小值為_____.
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【題目】如圖在四棱錐中,平面底面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,,,,.
(1)證明:.
(2)求平面PCD與平面PAB夾角(銳角)的余弦值.
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【題目】定義在上的函數(shù)若滿足:①對任意、,都有;②對任意,都有,則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”,其中點稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”,若滿足不等式,當(dāng)時,的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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