【題目】如圖在四棱錐中,平面底面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,,,,.
(1)證明:.
(2)求平面PCD與平面PAB夾角(銳角)的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)過P作PO⊥AB與O.連OC,OD,根據已知條件計算可得,根據平面與平面垂直的性質定理可得,再根據直線與平面垂直的判定和性質可證結論
(2)以O為坐標原點.OD,OB,OP為x,y,軸建立空間直角坐標洗,利用空間向量可求得平面PCD與平面PAB夾角(銳角)的余弦值.
(1)證明:過P作PO⊥AB與O.連OC,OD,如圖:
因為底面ABCD是等腰梯形,,
所以,因為,,
∴,所以,
所以,
∴,
所以,,
所以,,
所以,所以.
因為平面底面ABCD,交線為AB,
∴底面ABCD,所以.
又,平面POC,
故平面POC,所以;
(2)由(1)知,以O為坐標原點.OD,OB,OP為x,y,軸建立空間直角坐標系,如圖所示
則,,,
所以,,
設平面PCD的法向量,
故,即,
令,則,,所以,
平面PAB的法向量取),
所以
故平面PCD與PAB夾角的余弦值為.
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【題目】某數學教師在甲、乙兩個平行班采用“傳統(tǒng)教學”和“高效課堂”兩種不同的教學模式進行教學實驗.為了解教改實效,期中考試后,分別從兩個班中各隨機抽取名學生的數學成績進行統(tǒng)計,得到如下的莖葉圖:
(1)求甲、乙兩班抽取的分數的中位數,并估計甲、乙兩班數學的平均水平和分散程度(不要求計算出具體值,給出結論即可);
(2)若規(guī)定分數在的為良好,現已從甲、乙兩班成績?yōu)榱己玫耐瑢W中,用分層抽樣法抽出位同學參加座談會,要再從這位同學中任意選出人發(fā)言,求這人來自不同班的概率.
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【題目】已知頂點為原點的拋物線,焦點在軸上,直線與拋物線交于、兩點,且線段的中點為.
(1)求拋物線的標準方程.
(2)若直線與拋物線交于異于原點的、兩點,交軸的正半軸于點,且有,直線,且和有且只有一個公共點,請問直線是否恒過定點?若是,求出定點坐標;若不是,說明理由.
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【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族,已知的有中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴重的疾病,新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現的冠狀病毒新毒株,某小區(qū)為進一步做好新型冠狀病毒肺炎疫情知識的教育,在小區(qū)內開展“新型冠狀病毒防疫安全公益課”在線學習,在此之后組織了“新型冠狀病毒防疫安全知識競賽”在線活動.已知進入決賽的分別是甲、乙、丙、丁四位業(yè)主,決賽后四位業(yè)主相應的名次為第1,2,3,4名,該小區(qū)為了提高業(yè)主們的參與度和重視度,邀請小區(qū)內的所有業(yè)主在比賽結束前對四位業(yè)主的名次進行預測,若預測完全正確將會獲得禮品,現用表示某業(yè)主對甲、乙、丙、丁四位業(yè)主的名次做出一種等可能的預測排列,記.
(1)求出的所有可能情形;
(2)若會有小禮品贈送,求該業(yè)主獲得小禮品的概率,
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知點,直線與曲線相交于點,求的值.
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【題目】某快遞公司招聘快遞騎手,該公司提供了兩種日工資方案:方案(1)規(guī)定每日底薪50元,快遞騎手每完成一單業(yè)務提成3元:方案(2)規(guī)定每日底薪100元,快遞業(yè)務的前44單沒有提成,從第45單開始,每完成一單提成5元.該快遞公司記錄了每天騎手的人均業(yè)務量.現隨機抽取100天的數據,將樣本數據分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)隨機選取一天,估計這一天該快遞公司的騎手的人均日快遞業(yè)務量不少于65單的概率;
(Ⅱ)若騎手甲、乙、丙選擇了日工資方案(1),丁、戊選擇了日工資方案(2).現從上述5名騎手中隨機選取2人,求至少有1名騎手選擇方案(2)的概率;
(Ⅲ)若僅從人均日收入的角度考慮,請你利用所學的統(tǒng)計學知識為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由(同組中的每個數據用該組區(qū)間的中點值代替)
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【題目】圖①是一棟新農村別墅,它由上部屋頂和下部主體兩部分組成.如圖②,屋頂由四坡屋面構成,其中前后兩坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形.點F在平面ABCD和BC上的射影分別為H,M.已知HM 5 m,BC 10 m,梯形ABFE的面積是△FBC面積的2.2倍.設∠FMH .
(1)求屋頂面積S關于的函數關系式;
(2)已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比,比例系數為k(k為正的常數),下部主體造價與其 高度成正比,比例系數為16 k.現欲造一棟上、下總高度為6 m的別墅,試問:當為何值時,總造價最低?
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