Question

11．設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a=2，c=2$\sqrt{3}$，cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則b=2或4．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinA，利用正弦定理可求sinC，進而利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosC，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的余弦函數(shù)公式可求cosB，進而利用余弦定理即可計算求值得解．

解答 解：∵cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A∈（0，π），
∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∵a=2，c=2$\sqrt{3}$，
∴利用正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：cosC=±$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=±$\frac{1}{2}$，
∴cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}×$（$±\frac{1}{2}$）=0，或$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=4+12-2×2×2$\sqrt{3}$×cosB=16，或4．
∴b=2或4．
故答案為：2或4．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的余弦函數(shù)公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．