Question

已知函數(shù)f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

，其定義域?yàn)椋?1，1）．
（1）求f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用定義判斷函數(shù)f（x）是定義域（-1，1）上的奇函數(shù)，從而求出f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）的值；
（2）用單調(diào)性的定義判斷并證明函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

，定義域?yàn)椋?1，1）；
∴任取x∈（-1，1），
有f（-x）=x+log₂

1+x

1-x

=x-log₂

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）是定義域（-1，1）上的奇函數(shù)；
∴f（

1

2014

）+f（-

1

2014

）=0；
（2）函數(shù)f（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)；
證明如下：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+log₂

1-x1

1+x1

）-（-x₂+log₂

1-x2

1+x2

）
=（x₂-x₁）+log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

=（x₂-x₁）+log₂

1-x1x2+x2-x1

1-x1x2+x1-x2

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＞0，
∴1-x₁x₂+x₂-x₁＞1-x₁x₂+x₁-x₂＞0，
∴l(xiāng)og₂

1-x1x2+x2-x1

1-x1x2+x1-x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是定義域（-1，1）上的減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義來(lái)判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．