Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2$\sqrt{3}$菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2$\sqrt{6}$，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)
（1）證明：MN∥平面ABCD；
（2）證明：BD⊥平面PAC；
（3）求三棱錐C-BDN的體積．

Answer 1

分析 （1）由M，N分別是PB，PD的中點(diǎn)，可得MN∥BD，即可證明MN∥平面ABCD．
（2）利用線面垂直的判定定理證明BD⊥平面PAC；
（3）三棱錐C-BDN的體積=三棱錐N-CBD的體積，即可求三棱錐C-BDN的體積．

解答 （1）證明：因?yàn)椋篗，N分別是PB，PD的中點(diǎn)，
所以：MN是△PBD的中位線，
所以：MN∥BD，
又因?yàn)椋篗N?面ABCD，BD?面ABCD，
所以：MN∥平面ABCD．
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵ABCD邊長為2$\sqrt{3}$菱形，
∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC；
（3）解：三棱錐C-BDN的體積=三棱錐N-CBD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×sin120°×\sqrt{6}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行、垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．