Question

11．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+2y-4≥0}\\{2x-y-8≤0}\end{array}\right.$，則；z=y-x最小值是-4，z=$\frac{x}{y+4}$的最大值是1．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由z=y-x得y=x+z，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
平移直線y=x+z由圖象可知當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過點(diǎn)B時，直線y=x+z的截距最小，此時z也最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{2x-y-8=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，即B（4，0）．
代入目標(biāo)函數(shù)z=y-x，
得z=0-4=-4．
z=$\frac{x}{y+4}$=$\frac{1}{\frac{y+4}{x}}$，
設(shè)k=$\frac{y+4}{x}$，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到D（0，-4）的斜率，
由圖象知BD的斜率最小，此時k=$\frac{0+4}{4}=1$，
即k≥1，則z=$\frac{1}{k}$∈（0，1]，
即z=$\frac{x}{y+4}$的最大值是1，
故答案為：-4；1．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用直線平移以及轉(zhuǎn)化為直線斜率，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．綜合性較強(qiáng)．