Question

11．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）設c_n=$\frac{{n（{3-{b_n}}）}}{2}$，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n=$\frac{15}{4}$．求n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出{a_n}是以1為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n+1=b_n+a_n，且a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．  知b_n+1-b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，由此利用疊加法能求出b_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
（3）根據(jù)已知條件推知T_n+1-T_n=（4-$\frac{3+n}{{2}^{n}}$）-（4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{2+n}{{n}^{n-1}}$-$\frac{3+n}{{2}^{n}}$=$\frac{1+n}{{2}^{n}}$＞0，所以求得shiftT_n＜T_n+1恒成立的n的值即可．

解答 解：（1）當n=1時，S₁=a₁=2-a₁，所以a₁=1．
當n≥2時，S_n-1=2-a_n-1，且S_n=2-a_n，
所以a_n=2（2-a_n）-（2-a_n-1）得：a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1，
則數(shù)列{a_n}是以1為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．          
（2）由b_n+1=b_n+a_n，且a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴b_n+1-b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
則b₂-b₁=（$\frac{1}{2}$）⁰，b₃-b₂=（$\frac{1}{2}$）¹，b₄-b₃=（$\frac{1}{2}$）²，…，b_n-b_n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-2，
以上n個等式疊加得：b_n-b₁=（$\frac{1}{2}$）⁰+（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$=2[1-（$\frac{1}{2}$）^n-1]
=2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∵b₁=1，
∴b_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
（3）由題意知${c_n}=\frac{1}{2}n（{3-{b_n}}）=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$．                                   
則T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$=$\frac{15}{4}$，
∵T_n+1-T_n=（4-$\frac{3+n}{{2}^{n}}$）-（4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{2+n}{{n}^{n-1}}$-$\frac{3+n}{{2}^{n}}$=$\frac{1+n}{{2}^{n}}$＞0，
∴T_n＜T_n+1恒成立，
∵T₆=4-$\frac{2+6}{{2}^{6-1}}$=$\frac{15}{4}$，
∴n=6．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意迭代法和疊加法的合理運用．