Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范圍，使f（x）＞0在定義域上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．

由于ax﹣1≠0，

則ax≠1，

∴x≠0，

故得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}．

（2）對(duì)于定義域內(nèi)任意的x，有

f（﹣x）=（ ）（﹣x）3= = = =f（x）

∴f（x）是偶函數(shù)．

（3）①當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)x＞0，

∴ax＞1，即ax﹣1＞0，

∴ + ＞0．

又x＞0時(shí)，x3＞0，

f（x）= ＞0．

即 a＞1時(shí)，f（x）＞0．

由（2）知，f（x）是偶函數(shù)，即f（﹣x）=f（x），

則當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＞0成立．

綜上可知，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）＞0在定義域上恒成立．

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）=

當(dāng)x＞0時(shí)，0＜ax＜1，此時(shí)f（x）＜0，不滿足題意；

當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，有f（﹣x）=f（x）＜0，也不滿足題意．

綜上可知，所求a的取值范圍是a＞1．

即a的取值范圍為（1，+∞）．

【解析】（1）根據(jù)分母不為零可求出函數(shù)的定義域即可。（2）由奇偶性的定義判斷即可。（3）對(duì)a分情況討論，再根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)求出滿足題意的函數(shù)的取值范圍進(jìn)而得到a的取值范圍
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．