Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， a1=a．當(dāng)n≥2時，Sn2=3n2an+Sn﹣12 ， an≠0，n∈N* ．
（1）求a的值；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn ， 且cn=3n﹣1+a5 ， 求使不等式4Tn＞Sn成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=a，當(dāng)n≥2時Sn2=3n2an+Sn﹣12，

∴（a+a2）2=12a2+a2， =27a3﹣（a+a2）2，

∵an≠0，

∴a2=12﹣2a，a3=3+2a，

∵a1+a3=2a2，

∴2（12﹣2a）=a+3+2a，解得a=3，

經(jīng)檢驗，當(dāng)a=3時an=3n，Sn= 、Sn﹣1= 滿足Sn2=3n2an+Sn﹣12

（2）解：由（1）可知cn=3n﹣1+15，

∴Tn= +15n，

∵4Tn＞Sn，

∴4（ +15n）＞ ，

整理得：23n+60n﹣2＞165，即23n+60n＞167，

∵f（n）=23n+60n為增函數(shù)，且f（2）＜167、f（3）＞167，

∴滿足條件的n的最小值為3．

【解析】（1）通過在Sn2=3n2an+Sn﹣12中令n=2、3，結(jié)合a1=a計算可知a2=12﹣2a、a3=3+2a，利用a1+a3=2a2計算可知a=3，驗證其是否成立即可；（2）通過（1）可知cn=3n﹣1+15，進(jìn)而利用分組求和法計算可知Tn= +15n，問題轉(zhuǎn)化為解不等式4（ +15n）＞ ，計算即得結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識點，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能正確解答此題．