Question

4．已知函數(shù)y=2cos（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$sin2x，求：
（1）周期；（2）值域；（3）單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)整理求得函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，即可解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：y=2cos（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$sin2x，
=-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$sin2x
=-sin（2x-$\frac{π}{2}$）+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
（1）ω=2，∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），得-2≤y≤2，
故函數(shù)的值域是[-2，2]；
（3）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z）．
故函數(shù)的遞減區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角公式和兩角差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．