Question

【題目】設數(shù)列的首項，且，，．

（Ⅰ）證明：是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若，數(shù)列中是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，寫出這三項，若不存在說明理由．

（Ⅲ）若是遞增數(shù)列，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）成等差數(shù)列（3）

【解析】

（I）由，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得結果；（II）利用（I）可得，進而得到，若中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，則必有，解出即可；(III )如果成立，可得，對分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，即可得出的取值范圍．

（Ⅰ）因為，且，

所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知是首項為，公比為的等比數(shù)列．

∴

若中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，則必有，

即

解得，即成等差數(shù)列．

（Ⅲ）如果成立，即對任意自然數(shù)均成立．

化簡得

當為偶數(shù)時，，因為是遞減數(shù)列，

所以，即；

當為奇數(shù)時，，因為是遞增數(shù)列，

所以，即；

故的取值范圍為．