A. | $\sqrt{e}$ | B. | $\frac{1}{2}$e | C. | e | D. | 2e |
分析 設(shè)f(x)=ex+y-2+ex-y-2+2,原不等式恒成立,即為不等式4xlna≤f(x)恒成立.運(yùn)用基本不等式和參數(shù)分離可得2lna≤$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$,在x>0時(shí)恒成立,令g(x)=$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$,通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性求得g(x)的最小值即可得到a的最大值
解答 解:設(shè)f(x)=ex+y-2+ex-y-2+2,
不等式4xlna≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立,即為不等式4xlna≤f(x)恒成立.
即有f(x)=ex-2(ey+e-y)+2≥2+2ex-2(當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí),取等號(hào)),
由題意可得4xlna≤2+2ex-2,
即有2lna≤$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$在x>0時(shí)恒成立,
令g(x)=$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$,g′(x)=$\frac{{e}^{x-2}(x-1)-1}{{x}^{2}}$,
令g′(x)=0,即有(x-1)ex-2=1,
令h(x)=(x-1)ex-2,h′(x)=xex-2,
當(dāng)x>0時(shí)h(x)遞增,
由于h(2)=1,即有(x-1)ex-2=1的根為2,
當(dāng)x>2時(shí),g(x)遞增,0<x<2時(shí),g(x)遞減,
即有x=2時(shí),g(x)取得最小值,為1,
則有2lna≤1.
∴0<a≤$\sqrt{e}$
當(dāng)x=2,y=0時(shí),a取得最大值$\sqrt{e}$.
故選:A.
點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
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A. | (-2,0) | B. | (0,-2) | C. | (-4,-2) | D. | (-1,-1) |
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A. | y=sin2x | B. | y=tan2x | C. | y=sin|x| | D. | y=|cosx| |
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