Question

（本題滿(mǎn)分15分）

已知點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上相異兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足．

（Ⅰ）若的中垂線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）若的中垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)直線(xiàn)的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：方法一：

解：（I）當(dāng)垂直于軸時(shí)，顯然不符合題意，

所以可設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入方程得：

∴                         ………………………………2分

得：              

∴直線(xiàn)的方程為                  

∵中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為    …………………………4分       

∴的中垂線(xiàn)方程為 

∵的中垂線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，得       ………………………6分

∴直線(xiàn)的方程為                       ………………………7分

（Ⅱ）由（I）可知的中垂線(xiàn)方程為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為 …………8分

因?yàn)橹本�(xiàn)的方程為

∴到直線(xiàn)的距離      …………………10分

由得，

            …………………………12分

∴,  設(shè),則，

，，由，得

即時(shí)

此時(shí)直線(xiàn)的方程為                         ……………15分

（本題若運(yùn)用基本不等式解決，也同樣給分）

法二：

（1）根據(jù)題意設(shè)的中點(diǎn)為，則      ………………2分

由、兩點(diǎn)得中垂線(xiàn)的斜率為，              ………………4分

由，得                          ………………6分

∴直線(xiàn)的方程為                       ………………7分

（2）由（1）知直線(xiàn)的方程為                             ………………8分

中垂線(xiàn)方程為，中垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為            ………………10分

由得：

當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)直線(xiàn)方程為……………15分

考點(diǎn)：本試題考查了直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程的知識(shí)。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用兩直線(xiàn)的垂直，結(jié)合斜率之積為-1，得到斜率，同時(shí)結(jié)合點(diǎn)點(diǎn)斜式方程來(lái)得到直線(xiàn)的方程。而對(duì)于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的處理，結(jié)合方程組，設(shè)而不求的思想來(lái)結(jié)合韋達(dá)定理和判別式得到結(jié)論，屬于中檔題。