Question

6．如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為45°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．
（1）求證：AC⊥BM；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由平面 PCMB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC⊥平面PCMB，BM?平面 PMBC，則AC⊥BM；
（2）取BC中點N，連結(jié) AN、MN，平面PCMB⊥平面ABC，則PC⊥BC，PC⊥平面ABC，MN⊥平面 ABC，作NH⊥AB于H，連結(jié)MH，則由三垂線定理知，AB⊥MH，從而∠MHN為二面角M-AB-C的平面角，分別求得MN和NH，則tan∠MHN=$\frac{MN}{NH}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$，故二面角 M-AB-C 的大小為arctan$\frac{\sqrt{30}}{3}$；方法二：如圖，以 C 為原點建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz，設(shè)P（0，0，z₀ ）（z₀ ＞0），求得$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AB}$，則平面MAB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$，則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{m}丨•丨\overrightarrow{n}丨}$，即可求得二面角M-AB-C的余弦值．

解答 解：（1）∵平面PCMB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC?平面 ABC，
∴AC⊥平面PCMB
又∵BM?平面PMBC
∴AC⊥BM；

方法一：（2）取BC中點N，則CN=1，連結(jié)AN、MN，
∵平面PCMB⊥平面ABC，平面PCBM∩平面ABC=BC，PC⊥BC
∴PC⊥平面ABC
∵PM∥CN，PM=CN，
∴MN∥PC，
∴MN⊥平面ABC
作NH⊥AB于H，連結(jié)MH，則由三垂線定理知，AB⊥MH
從而∠MHN為二面角M-AB-C的平面角，
∵直線AM與直線PC所成的角為60°
∴∠AMN=60°
在△ACN 中，由勾股定理得AN=$\sqrt{2}$，
在Rt△AMN 中，MN=AN•cot∠AMN=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△BNH 中，NH=sin∠ABC=BN•$\frac{AC}{AB}$=1×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△MNH 中，tan∠MHN=$\frac{MN}{NH}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$，
故二面角M-AB-C的大小為arctan$\frac{\sqrt{30}}{3}$ _；
（2）方法二：如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz，
設(shè)P（0，0，z₀ ）（z₀ ＞0），有B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，z₀ ）
_{$\overrightarrow{AM}$} =（-1，1，z₀ ），_{$\overrightarrow{CP}$} =（0，0，z₀ ）
由直線AM與直線PC所成的角為60°，得 $\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{CP}$=丨$\overrightarrow{AM}$丨•丨$\overrightarrow{CP}$ 丨cos60°，

即${z}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{z}_{0}^{2}+2}$•z₀，解得：z₀=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，

∴_{$\overrightarrow{AM}$} =（-1，1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-1，2，0），
設(shè)平面 MAB 的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}+{y}_{1}+\frac{\sqrt{6}}{3}{z}_{1}=0}\\{-{x}_{1}+2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=$\sqrt{6}$，解得：$\overrightarrow{n}$=（4，2，$\sqrt{6}$），
取平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{m}丨•丨\overrightarrow{n}丨}$=$\frac{\sqrt{6}}{1×\sqrt{16+4+6}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
故二面角 M-AB-C 的大小為 arctan$\frac{\sqrt{30}}{3}$．

點評 本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等有關(guān)知識，考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力、屬于中檔題．