Question

16．已知函數(shù)f（x）=4x²-4ax．
（1）若f（x）＞1對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，求x的取值范圍；
（2）若對(duì)任意的x∈[0，1]，|f（x）|≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令g（a）=-4xa+4x²-1，若f（x）＞1對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}g（1）＞0\\ g（{-1}）＞0\end{array}\right.$，解得x的取值范圍；
（2）若對(duì)任意的x∈[0，1]，|f（x）|≤1，即對(duì)任意的x∈[0，1]，-1≤4x²-4ax≤1恒成立，即$4x-\frac{1}{x}≤4a≤4x+\frac{1}{x}$，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）令g（a）=-4xa+4x²-1，
若f（x）＞1對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}g（1）＞0\\ g（{-1}）＞0\end{array}\right.$，
解的$x＜\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}或x＞\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[0，1]，|f（x）|≤1，
即對(duì)任意的x∈[0，1]，-1≤4x²-4ax≤1恒成立，
即$4x-\frac{1}{x}≤4a≤4x+\frac{1}{x}$，
所以3≤4a≤4，
即$\frac{3}{4}≤a≤1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．