Question

11．已知直線l與圓C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M（0，1）．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及直線l的方程；
（2）若以$\overrightarrow{AB}$為直徑的圓過原點(diǎn)O，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線l與圓C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B兩點(diǎn)，根據(jù)直線，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求出a的取值范圍．
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}+2x-4y+a=0}\\{y=x+1}\end{array}}\right.$得2x²+a-3=0，求出A，B的坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{3-a}{2}+1-\frac{3-a}{2}=a-2=0$，即可求圓C的方程．

解答 解：（1）因?yàn)?²+4²-4a＞0，所以a＜5．
因?yàn)镸（0，1）在圓C內(nèi)，所以1²-4+a＜0，所以a＜3．
綜上知a＜3…（3分）
因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為M（0，1），所以直線l⊥CM．
因?yàn)閗_CM=-1，所以k_l=1．
所以直線l的方程為y=x+1…（7分）
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}+2x-4y+a=0}\\{y=x+1}\end{array}}\right.$得2x²+a-3=0，故${x_1}=\sqrt{\frac{3-a}{2}}$，x₂=-$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$．
不妨設(shè)A（$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$，$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$+1），B（-$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$，-$\sqrt{\frac{3-a}{2}}$+1）…（10分）
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{3-a}{2}+1-\frac{3-a}{2}=a-2=0$，故a=2…（13分）
故圓C：x²+y²+2x-4y+2=0…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．