Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，A_n表示{a_n}前n項(xiàng)之積，則A₂₀₁₄=（　�。�

• A、-3
• B、3
• C、-2
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由首項(xiàng)和遞推式逐一求出a₂，a₃，a₄，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的項(xiàng)周期出現(xiàn)，求出2014所含周期數(shù)，求出一個周期內(nèi)的項(xiàng)的乘積，則可求得A₂₀₁₄的值．

解答：解：∵a₁=3，
代入a_n-a_na_n+1=1  ①
得a2=

2

3

  ②
在把a2=

2

3

代入a_n-a_na_n+1=1，
得到a3=-

1

2

  ③
把a3=-

1

2

代入a_n-a_na_n+1=1，
得到a₄=3  ④
由此可見a₄與a₁相等，以后的項(xiàng)也會出現(xiàn)對應(yīng)相同的數(shù)值，即每三項(xiàng)一重復(fù)，循環(huán)環(huán)出現(xiàn)，
看2014里包含多少個三項(xiàng)，
∵2014=671×3+1．
∴A₂₀₁₄=[3×

2

3

×(-

1

2

)]671×3=-3．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，解答此題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性并求出周期，是中檔題．