Question

4．已知橢圓C的中心為原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P為橢圓C上一點，△F₁PF₂的周長為12．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁的直線l與橢圓C交點M，N，若|$\overrightarrow{MN}$|=$\frac{48}{7}$，求△MNF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設橢圓方程，由2a+2c=12及e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得a和c的值，由b²=a²-c²=12，即可求得橢圓方程；
（2）由題意設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理求得y₁+y₂=$\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，根據(jù)|$\overrightarrow{MN}$|=2a+e（x₁+x₂），代入即求得m的值，求得直線方程，利用點到直線的距離公式及三角形的面積公式即可求得△MNF₂的面積．

解答 解：（1）由題意可知：設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由題意可知：2a+2c=12，即a+c=6，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得：a=4，c=2，
由b²=a²-c²=12，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）設MN的方程為my=x+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{my=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²-12my-36=0，
由韋達定理可知：y₁+y₂=$\frac{12m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，
|$\overrightarrow{MN}$|=2a+e（x₁+x₂）=2×4+$\frac{1}{2}$[m（y₁+y₂）-4]=$\frac{48}{7}$，整理得：m²=1，
直線方程：x±y+2=0，
則F₂點到直線x±y+2=0的距離d=$\frac{丨2+2丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
△MNF₂的面積S=$\frac{1}{2}$•d•|$\overrightarrow{MN}$|=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•$\frac{48}{7}$=$\frac{48}{7}$$\sqrt{2}$．
△MNF₂的面積為：$\frac{48}{7}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長公式，韋達定理及點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．