Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．
（1）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AB-C的大�。�
（3）設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，且

PM

MC

=λ，問λ為何值時(shí)，PC⊥平面BMD．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，要求兩條異面直線所成的角，在兩條異面直線上構(gòu)造方向向量，根據(jù)兩條向量的夾角得到結(jié)果．
（2）設(shè)出平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的兩條相交直線對應(yīng)的向量垂直，列出關(guān)系式，寫出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)向量之間的夾角得到面面角．
（3）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線與垂直，得到關(guān)于未知數(shù)的方程組，解出方程組得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出對應(yīng)的λ的值．

解答：解：∵PO⊥平面ABCD，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
各點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，

2

）．
（1）∵

PD

=(0，-1，-

2

)，

BC

=(-1，-2，0)，
∴

| PD |= 3 ，| BC |= 5

.

，

PD

•

BC

=2．
∴cos＜

PD

，

BC

＞=

PD • BC

| PD || BC |

=

2 15

15

．
故直線PD與BC所成的角的余弦值為cos(

PD

，

BC

)=

PD • BC

| PD || BC |

=

2 15

15

．
（2）設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量，
由于

AB

=(-2，2，0)，

AP

=(-2，0，

2

)，
由

n• AB =0 n• AP =0

，得

x=y z= 2 x.

取n=(1，1，

2

)，又易知平面ABCD的一個(gè)法向量m=（0，0，1），
∴cos＜m，n＞=

m•n

|m|•|n|

=

2

2

．
又二面角P-AB-C不是鈍角．
∴所求二面角P-AB-C的大小為45°
（3）設(shè)M（x₀，0，z₀），由于P，M，C三點(diǎn)共線，可得z0=

2

x0+

2

，，①
若PC⊥平面BMD成立
則必有

OM⊥PC

．
∴(-1，0，-

2

)•(x0，0，z0)=0．
∴x0+

2

z0=0.②
由①②知x0=-

2

3

，z0=

2

3

∴M=(- 2 3 ，0， 2 3 )

．∴λ=

PM

MC

=2.
故λ=2時(shí)，PC⊥平面BMD．

點(diǎn)評：本題考查空間中直線與平面之間的關(guān)系，用空間向量求解夾角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把理論的推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運(yùn)算，降低了本題的理論推導(dǎo)的難度．