Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）短軸長為2，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，c為半焦距．若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，P為橢圓上的動點，過P作此圓的切線l，切點為T．
（1）當l經(jīng)過原點時，l的斜率為-

3

3

，求橢圓的方程． 
（2）若|PT|的最小值不小于

3

2

（a-c），圓F₂與x軸的右焦點為C，過點C作斜率為k（k＞0）的直線m與橢圓交于A，B兩點．與圓F₂交于另一點D兩點，若O在以AB為直徑的圓上，求|CD|的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得

b-c

c

=

1-c

c

=

1

2

，從而解出a，b，c；從而求橢圓的方程；
（2）由題意可得直線m的方程為y=k（x-1），聯(lián)立方程得到

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

，從而可得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0；由韋達定理，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

2a2k2

a2k2+1

，x₁x₂=

a2k2-a2

a2k2+1

；
則由OA⊥OB得

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=

k2-a2

a2k2+1

=0，從而可得k=a；利用兩點間的距離公式求解即可．

解答： 解：（1）當l經(jīng)過原點時的斜率為-

3

3

，
故

b-c

c

=

1-c

c

=

1

2

，
解得，c=

2

3

；
故a²=b²+c²=1+

4

9

=

13

9

；
故橢圓方程為

9x2

13

+y²=1；
（2）由題意，點Q的坐標為（1，0），則得直線m的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程組

y=k(x-1) x2 a2 +y2=1

得，
（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

2a2k2

a2k2+1

，x₁x₂=

a2k2-a2

a2k2+1

；
代入直線方程得y₁y₂=

k2(1-a2)

a2k2+1

，x₁x₂+y₁y₂=

k2-a2

a2k2+1

；
由題意OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，
所以x₁x₂+y₁y₂=

k2-a2

a2k2+1

=0，
所以k=a，直線m方程為ax-y-a=0，
圓心F₂（c，0）到直線m的距離d=

|ac-a|

a2+1

．
CD²=4[（b-c）²-d²]=

4(c-1)2

a2+1

；
|CD|=

2|c-1|

a2+1

=2

c2-2c+1 a2+1

=2

1- 4 2c+1+ 9 2c+1 -2

，
根據(jù)題意可設切線長|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，
所以當且僅當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，
而|PF₂|_min=a-c，
所以

(a-c)2-(b-c)2

≥

3

2

（a-c）；．
所以0＜

b-c

a-c

≤

1

2

，
從而解得

1-c

1+c2 -c

≤

1

2

，
解得，c≥

3

4

；
所以

3

4

≤c＜1，
所以

5

2

≤2c+1＜3；
則|CD|∈（0，

2 41

41

]．
所以當c=

3

4

時，|CD|_max=

2 41

41

．

點評：本題考查了圓錐曲線與直線的應用，化簡很復雜，屬于難題．