Question

12．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）用定義證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）已知f（x）在（0，1）上遞減，試求f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）在[$\frac{1}{3}$，1]上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增，求得f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上的最大值與最小值．

解答 證明：（Ⅰ）對(duì)于函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$，任取x₂＞x₁≥1，
∴（x₁-x₂）＜0，x₁•x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）•{（x}_{1}{•x}_{2}-1）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜0，
即 f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
解：（Ⅱ）依題知，f（x）在[$\frac{1}{3}$，1]上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增．
又f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{10}{3}$，f（1）=2，f（2）=$\frac{5}{2}$，
所以f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上的最大值為$\frac{10}{3}$，最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．