Question

3．用行列式討論下列關(guān)于x，y，z的方程組$\left\{\begin{array}{l}ax-y-z=1\\ x+y-az=2\\ x-y-z=1\end{array}\right.$的解的情況，并求出相應(yīng)的解．

Answer 1

分析 先根據(jù)方程組中x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)計(jì)算計(jì)算出D，D_x，D_y，下面對(duì)a的值進(jìn)行分類討論，并求出相應(yīng)的解．

解答 解：方程組可轉(zhuǎn)化為：$[\begin{array}{l}{a}&{-1}&{-1}\\{1}&{1}&{-a}\\{1}&{-1}&{-1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\\{z}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}\\{2}\\{1}\end{array}]$，
D=$|\begin{array}{l}{a}&{-1}&{-1}\\{1}&{1}&{-a}\\{1}&{-1}&{-1}\end{array}|$=1-a²=-（a+1）（a-1），
D_x=$|\begin{array}{l}{1}&{-1}&{-1}\\{2}&{1}&{-a}\\{1}&{-1}&{-1}\end{array}|$=-4（a+1）（a-1），
D_y=$|\begin{array}{l}{a}&{1}&{-1}\\{1}&{2}&{-a}\\{1}&{1}&{-1}\end{array}|$=-（a-1）（a-3）
D_z=$|\begin{array}{l}{a}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{2}\\{1}&{-1}&{1}\end{array}|$=4（a-1）
①當(dāng)系數(shù)行列式丨A丨≠0時(shí)，方程組有唯一解，
當(dāng)a≠±1時(shí)，有唯一解$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\frac{a-2}{a+1}}\\{z=-\frac{3}{a+1}}\end{array}}\right.$
②當(dāng)a=-1時(shí)，無(wú)解
③當(dāng)a=1時(shí)，有無(wú)窮多解，通解為$\left\{{\begin{array}{l}{x=t+\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\\{z=t}\end{array}}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三元一次方程組得矩陣形式、線性方程組解得存在性，唯一性、三元一次方程的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．