Question

10．若函數f（x）=|e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$|在[0，1]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（-∞，-e²]∪[e²，+∞）．

Answer 1

分析 可看出，為去掉絕對值號，需討論a：（1）a＞0時，得出$f（x）={e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}$，求導數，根據題意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，從而得到a≥e^2x在x∈[0，1]上恒成立，從而得出a≥e²；（2）a=0時，顯然不滿足題意；（3）a＜0時，可看出函數$y={e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}$在R上單調遞增，而由${e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}=0$可解得$x=\frac{ln（-a）}{2}$，從而得出f（x）在$（-∞，\frac{ln（-a）}{2}]$上單調遞減，從而便可得出$\frac{ln（-a）}{2}≥1$，這又可求出一個a的范圍，以上a的范圍求并集便是實數a的取值范圍．

解答 解：（1）當a＞0時，$f（x）={e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}$，$f′（x）=\frac{{e}^{2x}-a}{{e}^{x}}$；
∵f（x）在[0，1]上單調遞減；
∴x∈[0，1]時，f′（x）≤0恒成立；
即x∈[0，1]時，a≥e^2x恒成立；
y=e^2x在[0，1]上的最大值為e²；
∴a≥e²；
（2）當a=0時，f（x）=e^x，在[0，1]上單調遞增，不滿足[0，1]上單調遞減；
∴a≠0；
（3）當a＜0時，$y={e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}$在R上單調遞增；
令${e}^{x}+\frac{a}{{e}^{x}}=0$得，$x=\frac{ln（-a）}{2}$；
∴f（x）在$（-∞，\frac{ln（-a）}{2}]$上為減函數，在$[\frac{ln（-a）}{2}，+∞）$上為增函數；
又f（x）在[0，1]上為減函數；
∴$\frac{ln（-a）}{2}≥1$；
∴a≤-e²；
∴綜上得，實數a的取值范圍為（-∞，-e²]∪[e²，+∞）．
故答案為：（-∞，-e²]∪[e²，+∞）．

點評 本題考查指數函數的值域，函數單調性和函數導數符號的關系，考查增函數和減函數的定義、反比例函數的單調性、以及對數的運算性質．