Question

5．絕對(duì)值|x-1|的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)x與點(diǎn)1之間的距離，那么對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，|x-a|+|x-b|的幾何意義即為點(diǎn)x與點(diǎn)a、點(diǎn)b的距離之和．
（1）直接寫(xiě)出|x-1|+|x-2|與|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，并寫(xiě)出取到最小值時(shí)x滿足的條件；
（2）設(shè)a₁≤a₂≤…≤a_n是給定的n個(gè)實(shí)數(shù)，記S=|x-a₁|+|x-a₂|+…+|x-a_n|．試猜想：若n為奇數(shù)，則當(dāng)x∈{${a}_{\frac{n+1}{2}}$}時(shí)S取到最小值；若n為偶數(shù)，則當(dāng)x∈[${a}_{\frac{n}{2}}$，${a}_{\frac{n}{2}+1}$]時(shí)，S取到最小值；（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）
（3）求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，可得當(dāng)且僅當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，|x-1|+|x-2|取最小值1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|取最小值2；
（2）歸納可得：若n為奇數(shù)，則當(dāng)x∈{${a}_{\frac{n+1}{2}}$}時(shí)S取到最小值；若n為偶數(shù)，則當(dāng)x∈[${a}_{\frac{n}{2}}$，${a}_{\frac{n}{2}+1}$]時(shí)，S取到最小值；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，可得x=$\frac{1}{7}$時(shí)，|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|取最小值．

解答 解：（1）|x-1|+|x-2|的最小值為1，當(dāng)且僅當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，取最小值；
|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，取最小值；
（2）設(shè)a₁≤a₂≤…≤a_n是給定的n個(gè)實(shí)數(shù)，記S=|x-a₁|+|x-a₂|+…+|x-a_n|．
歸納可得：
若n為奇數(shù)，則當(dāng)x∈{${a}_{\frac{n+1}{2}}$}時(shí)S取到最小值；
若n為偶數(shù)，則當(dāng)x∈[${a}_{\frac{n}{2}}$，${a}_{\frac{n}{2}+1}$]時(shí)，S取到最小值；
（3）|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|=|x-1|+2|x-$\frac{1}{2}$|+3|x-$\frac{1}{3}$|+…+10|x-$\frac{1}{10}$|，
共55項(xiàng)，其中第28項(xiàng)為|x-$\frac{1}{7}$|，
故x=$\frac{1}{7}$時(shí)，|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|取最小值：$\frac{6}{7}$+$\frac{5}{7}$+$\frac{4}{7}$+$\frac{3}{7}$+$\frac{2}{7}$+$\frac{1}{7}$+0+$\frac{1}{7}$+$\frac{2}{7}$+$\frac{3}{7}$=$\frac{27}{7}$，
故答案為：{${a}_{\frac{n+1}{2}}$}，[${a}_{\frac{n}{2}}$，${a}_{\frac{n}{2}+1}$]

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．