Question

10．已知在（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中，前3項的系數(shù)之和為127．
（1）求n的值；
（2）求x^-3項的系數(shù)；
（3）求展開式中的所有整式項．

Answer 1

分析 （1）求得二項式展開式的通項公式，化簡整理，求出前三項的系數(shù)，得出一個關(guān)于n的方程，解出n；
（2）求出（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）⁹的通項，令x的指數(shù)為-3，求出r，繼而求出x^-3項的系數(shù)；
（3）令通項中x的指數(shù)為非負整數(shù)，求出符合條件的r，繼而得出答案．

解答 解：（1）（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{n}^{r}$（$\sqrt{x}$）^n-r•（-$\frac{2}{x}$）^r
=${C}_{n}^{r}$（-2）^r•x${\;}^{\frac{n-3r}{2}}$，r=0，1，2，…，n，
由前3項的系數(shù)之和為127，
可得1+${C}_{n}^{1}$•（-2）+4${C}_{n}^{2}$=127，
化簡得：n²-2n-63=0，
解得n=9或-7（舍），
所以n=9；
（2）由（1）可得T_r+1=${C}_{9}^{r}$（-2）^r${x}^{\frac{9-3r}{2}}$，r=0，1，2，…，9，
令$\frac{9-3r}{2}$=-3，解得r=5，
可得x^-3項的系數(shù)為${C}_{9}^{5}$（-2）⁵=-4032，
即為-4032；
（3）T_r+1=${C}_{9}^{r}$（-2）^r${x}^{\frac{9-3r}{2}}$，r=0，1，2，…，9，
令$\frac{9-3r}{2}$為非負整數(shù)，
所以r可取1，3．
所以展開式中的所有整式項為：T₂=-18x³，T₄=-84．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用：求特定項或系數(shù)，注意運用通項公式，考查了運算能力，屬于中檔題．