Question

20．已知向量$\overrightarrow a$=（3，1），$\overrightarrow b$=（1，3），$\overrightarrow c$=（k，-2），若（${\overrightarrow a$-$\overrightarrow c}$）∥$\overrightarrow b$，則向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow c$的夾角的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． $-\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的平行求出k的值，再根據(jù)向量的夾角公式即可求出．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=（3，1），$\overrightarrow b$=（1，3），$\overrightarrow c$=（k，-2），
∴${\overrightarrow a$-$\overrightarrow c}$=（k-3，-3），
∵（${\overrightarrow a$-$\overrightarrow c}$）∥$\overrightarrow b$，
∴3（k-3）=1×（-3），
∴k=2，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=3×2+1×（-2）=4，
∴|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow c$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{4}{\sqrt{10}•2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式，以及向量平行，屬于中檔題．