Question

5．已知函數(shù)f（x）=log_a（ax-$\sqrt{x}$）（a＞0，a≠1為常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若a=3，x∈[1，9]，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）若函數(shù)y=a^f（x）的圖象恒在直線y=-3x+1的上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件，即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）把a=2代入函數(shù)解析式，由x的范圍求得對數(shù)函數(shù)真數(shù)的范圍，則函數(shù)值域可求；
（Ⅲ）由對數(shù)的運算性質(zhì)化簡y=a^f（x），把函數(shù)y=a^f（x）的圖象恒在直線y=-3x+1的上方轉(zhuǎn)化為成立，分離參數(shù)a后求出二次函數(shù)的最值，則答案可求．

解答 解：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義，則ax-$\sqrt{x}$＞0，且x≥0，
即x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$，即函數(shù)f（x）的定義域{x|x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$}；
（Ⅱ）若a=3，則f（x）=log₃（3x-$\sqrt{x}$），
∵x∈[1，9]，
∴$\sqrt{x}$∈[1，3]，
則3x-$\sqrt{x}$∈[2，24]，
∴函數(shù)f（x）的值域為[log₃2，log₃24]；
（Ⅲ）y=a^f（x）=ax-$\sqrt{x}$，
函數(shù)y=a^f（x）的圖象恒在直線y=-3x+1的上方，
即ax-$\sqrt{x}$-（-3x+1）＞0恒成立，
也就是a＞$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-3在（$\frac{1}{{a}^{2}}$，+∞）上恒成立．
令$\sqrt{x}$=t，則t∈（0，a），
則a＞t²+t-3在t∈（0，a）恒成立，
∴a≥a²+a-3，解得0＜a＜$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域及值域的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了分類變量法及配方法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．