Question

5．已知命題p：關(guān)于x的方程x²-ax+4=0有實(shí)根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y=2x²+ax+4在[3，+∞）上是增函數(shù)．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：關(guān)于x的方程x²-ax+4=0有實(shí)根，則△≥0．命題q：關(guān)于x的函數(shù)y=2x²+ax+4在[3，+∞）上是增函數(shù)，可得$-\frac{a}{4}≤3$．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，于是p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：命題p：關(guān)于x的方程x²-ax+4=0有實(shí)根，則△=a²-16≥0，解得a≥4，或a≤-4．
命題q：關(guān)于x的函數(shù)y=2x²+ax+4在[3，+∞）上是增函數(shù)，∴$-\frac{a}{4}≤3$，解得a≥-12．
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，
∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥4或a≤-4}\\{a＜-12}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-4＜a＜4}\\{a≥-12}\end{array}\right.$，
解得a＜-12，或-4＜a＜4，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜-12，或-4＜a＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、函數(shù)的性質(zhì)、一元二次的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．