Question

9．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=alnx+x²-4x．
（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在x=1處取得極值？證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)g（x）=（a-2）x，若?x₀∈[$\frac{1}{e}$，e]，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）定義域，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在x=1處取極值，則f′（1）=0，求出a，驗(yàn)證推出結(jié)果．
（2）由f （x₀）≤g（x₀） 得：（x₀-lnx₀）a≥x₀²-2x₀，記F（x）=x-lnx（x＞0），求出F′（x），推出F（x）≥F（1）=1＞0，轉(zhuǎn)化a≥$\frac{{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}}{{x}_{0}-ln{x}_{0}}$，記G（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]求出導(dǎo)函數(shù)，求出最大值，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4=$\frac{2{x}^{2}-4x+a}{x}$
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在x=1處取極值，則f′（1）=0，∴a=2，…（2分）
此時(shí)，f′（x）=$\frac{2（x-1）^{2}}{x}$，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）遞增．…（4分）
∴x=1不是f（x）的極值點(diǎn)．
故不存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在x=1處取極值．…（5分）
（2）由f （x₀）≤g（x₀） 得：（x₀-lnx₀）a≥x₀²-2x₀ …（6分）
記F（x）=x-lnx（x＞0），∴F′（x）=$\frac{x-1}{x}$ （x＞0），．…（7分）
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
∴F（x）≥F（1）=1＞0．…（8分）
∴a≥$\frac{{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}}{{x}_{0}-ln{x}_{0}}$，記G（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]
∴G′（x）=$\frac{（2x-2）（x-lnx）-（x-2）（x-1）}{（x-lnx）^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{（x-lnx）^{2}}$…（9分）
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，∴2-2lnx=2（1-lnx）≥0，∴x-2lnx+2＞0
∴x∈（$\frac{1}{e}$，1）時(shí)，G′（x）＜0，G（x）遞減；x∈（1，e）時(shí)，G′（x）＞0，G（x）遞增…（10分）
∴G（x）_min=G（1）=-1∴a≥G（x）_min=-1．…（11分）
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，+∞）． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的動(dòng)手的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．