Question

12．已知：向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，2cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求y=f（x）對稱中心坐標；
（Ⅱ）求y=f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$）上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算以及三角形函數(shù)的性質即可求出答案；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的單調區(qū)間，即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，2cosx），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2cos²x+$\sqrt{3}$×2sinxcosx=co2x-1+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∴2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴y=f（x）對稱中心坐標為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，-1），k∈Z，
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）在[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]為增函數(shù)，在（kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，為減函數(shù)，k∈Z，
∴f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]單調遞增，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}$）單調遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{π}{6}$）=1，f（x）_min=f（$\frac{7π}{12}$）=-$\sqrt{3}$-1，
故y=f（x）在（$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$）上的值域為（-$\sqrt{3}$-1，1]．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積和三角形函數(shù)的化簡以及三角函數(shù)的性質，屬于中檔題．