Question

4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求三棱錐B₁-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AC⊥BC，又AC⊥CC₁得出AC⊥平面BB₁C₁C，故而AC⊥BC₁；
（2）V${\;}_{{B}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•B{B}_{1}$．

解答 解：（1）證明：∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥CC₁，
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又BC?平面BB₁C₁C，CC₁?平面BB₁C₁C，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，又BC₁?平面BB₁C₁C，
∴AC⊥BC₁．
（2）∵D是AB的中點(diǎn)，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3×4$=3，
∵BB₁⊥平面ABC，BB₁=AA₁=4，
∴V${\;}_{{B}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×3×4$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．