Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）求證：ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)；
（3）對(duì)f（x）圖象上的任意不同兩點(diǎn)P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），證明f（x）圖象上存在點(diǎn)P₀（x₀，y₀），滿足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）圖象上以P₀為切點(diǎn)的切線與直線P₁P₂平行．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，易求得f′（x），且f′（x）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f′（x）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；故可求得f（x）的最大值．
（2）由（1）知-x+lnx≤-1，∴l(xiāng)nx≤x-1，當(dāng)取x=

n+1

n

(n∈N+)時(shí)，可得ln

2

1

≤

2

1

-1；ln

3

2

≤

3

2

-1；ln

4

3

≤

4

3

-1；ln

n+1

n

≤

n+1

n

-1；把以上各式相加，可得證明．
（3）直線P₁P₂的斜率k由P₁，P₂兩點(diǎn)坐標(biāo)可表示為k=

ax2+lnx2-ax1-lnx1

x2-x1

=a+

lnx2-lnx1

x2-x1

；
由（1）知-x+lnx≤-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)；可得-

x2

x1

+ln

x2

x1

＜-1，整理可得

lnx2-lnx1

x2-x1

＜

1

x1

，
同理，由-

x1

x2

+ln

x1

x2

＜-1，得

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

1

x2

；所以P₁P₂的斜率k∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，
在x∈（x₁，x₂）上，有f′(x)=a+

1

x

∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，可得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，∴f′(x)=

1-x

x

，且x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最大值f（1）=-1．
（2）由（1）知-x+lnx≤-1，∴l(xiāng)nx≤x-1，取x=

n+1

n

(n∈N+)，可得ln

2

1

≤

2

1

-1；ln

3

2

≤

3

2

-1；ln

4

3

≤

4

3

-1；ln

n+1

n

≤

n+1

n

-1；
以上各式相加得：ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N⁺）
（3）直線P₁P₂的斜率為k=

ax2+lnx2-ax1-lnx1

x2-x1

=a+

lnx2-lnx1

x2-x1

；
由（1）知-x+lnx≤-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴-

x2

x1

+ln

x2

x1

＜-1?ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1?lnx2-lnx1＜

x2-x1

x1

?

lnx2-lnx1

x2-x1

＜

1

x1

，
同理，由-

x1

x2

+ln

x1

x2

＜-1，可得

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

1

x2

；
故P₁P₂的斜率k∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，
又在x∈（x₁，x₂）上，f′(x)=a+

1

x

∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，
所以f（x）圖象上存在點(diǎn)P₀（x₀，y₀），滿足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）圖象上以P₀為切點(diǎn)的切線與直線P₁P₂平行．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上過某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值問題，也考查了利用函數(shù)證明不等式的問題，是較難的題目．