Question

已知定義x∈[-1，1]在偶函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x+2

2-x

，函數(shù)g（x）=ax+5-2a（a＞0），
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的解析式：
（2）若對(duì)于任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有g(shù)（x₂）＞f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，可得到f（-x），然后利用奇偶性得到f（x），再合并成分段函數(shù)的形式給出結(jié)果；
（2）結(jié)合圖象分析：只需g（x）_min≥f（x）_max，然后再分別求出兩函數(shù)相應(yīng)的最值即可．

解答： 解：（1）設(shè)x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，結(jié)合函數(shù)f（x）是[-1，1]上的偶函數(shù)，
所以f（x）=f（-x）=-x+2

2+x

，所以f(x)=

x+2 2-x ，x∈[0，1] -x+2 2+x ，x∈[-1，0]

．
（2）因?yàn)閷?duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有g(shù)（x₂）＞f（x₁）成立，則只需g（x）_min≥f（x）_max，
又因?yàn)閥=f（x），x∈[-1，1]是偶函數(shù)，所以f（x）的值域就是f（x）在[0，1]值域．
而當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x+2

2-x

，令t=

2-x

∈[1，

2

]，
原函數(shù)化為y=-t²+2t+2=-（t-1）²+3，t∈[1，

2

]，顯然t=1時(shí)f（x）_max=3，
又因?yàn)間（x）_min=-3a+5，則由題意得

a＞0 -3a+5＞3

，
解得0＜a＜

2

3

即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題的第二問(wèn)實(shí)際上是與兩個(gè)函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題，這種類型一般分別求出兩個(gè)函數(shù)的最值，然后列出不等式求解．