Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是B₁B、AB、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：D₁F⊥平面AEG；
（2）求，．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在的直線分別為x、y、z軸，求出D₁F與EG₁的方向向量，根據(jù)向量的數(shù)量積為0，兩個向量垂直得到D₁F⊥EG，D₁F⊥AE．結(jié)合線面垂直的判定定理可得D₁F⊥平面AEG．
（2）由 由=（0，a，），=（a，a，-a），代入向量夾角公式可得cos＜，＞．
解答：解：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DA₁所在的直線分別為x、y、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體AC₁棱長為a，則D（0，0，0），
A（a，0，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），E（a，a，），
F（a，，0），G（，a，0）．
（1）=（0，a，），∴=a×0+×a-a×=0
∴D₁F⊥AE，
同理D₁F⊥EG
∵EG∩AE=E，∴D₁F⊥平面AEG．
（2）由=（0，a，），=（a，a，-a）
∴cos＜，＞==．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，點(diǎn)、線、面間的距離計算，是立體幾何的一個綜合考查，難度稍大．