Question

10．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)P，過(guò)雙曲線中心的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，記直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂（k₁，k₂均不為零），當(dāng)$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln|k₁|+ln|k₂|最小時(shí)，雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}+2$
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由雙曲線的對(duì)稱性得B（-x₁，-y₁），從而得到k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，利用點(diǎn)差法能推導(dǎo)出$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln|k₁|+ln|k₂|=$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln（k₁k₂），再由構(gòu)造法利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由題意知點(diǎn)A，B為過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的交點(diǎn)，
∴由雙曲線的對(duì)稱性得A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B（-x₁，-y₁），${k}_{1}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵點(diǎn)A，C都在雙曲線上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$，
兩式相減，得：
$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=0$，
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＞0，
∴$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln|k₁|+ln|k₂|=$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln（k₁k₂），
對(duì)于函數(shù)y=$\frac{4}{x}$+lnx，x＞0，
由f′（x）=-$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-4}{{x}^{2}}$，
x＞4時(shí)，f′（x）＞0，
0＜x＜4時(shí)，f′（x）＜0，
∴當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)y=$\frac{4}{x}$+lnx（x＞0）取得最小值，
∴當(dāng)$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln|k₁|+ln|k₂|最小時(shí)，此時(shí)k₁k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，涉及到導(dǎo)數(shù)、最值、雙曲線、離心率等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．