Question

12．已知圓C的方程為：x²+y²-4x+3=0．直線l的方程為2x-y=0，點(diǎn)P在直線l上
（1）若Q（x，y）在圓C上，求$\frac{y+3}{x}$的范圍；
（2）若過點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB切點(diǎn)為A，B．求證：經(jīng)過P，A，C，B四點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)$（{\frac{2}{5}，\frac{4}{5}}）$．

Answer 1

分析 （1）求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出參數(shù)方程，代入k=$\frac{y+3}{x}$根據(jù)輔助角公式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得k的范圍；
（2）由題意求得經(jīng)過點(diǎn)P，A，C，B四點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（$\frac{t+2}{2}$，t），求得圓的方程，將點(diǎn)$（{\frac{2}{5}，\frac{4}{5}}）$代入圓方程恒成立則經(jīng)過P，A，C，B四點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)$（{\frac{2}{5}，\frac{4}{5}}）$．．

解答 解：（1）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-2）²+y²=1，由Q（x，y）在圓C上，
則x=2+cosθ，y=sinθ，
則k=$\frac{y+3}{x}$=$\frac{sinθ+3}{cosθ+2}$，sinθ-kcosθ=2k-3，
則$\sqrt{1+{k}^{2}}$sin（θ+φ）=2k-3，
則$\sqrt{1+{k}^{2}}$≥丨2k-3丨，
解得：$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{y+3}{x}$的范圍[$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$]；
（2）證明：由點(diǎn)P在直線2x-y=0，則P（t，2t），
經(jīng)過點(diǎn)P，A，C，B四點(diǎn)的圓就是以PC為直徑的圓，則圓C的圓心C（2，0），
經(jīng)過點(diǎn)P，A，C，B四點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（$\frac{t+2}{2}$，t），
半徑為$\frac{1}{2}$$\sqrt{（t-2）^{2}+（2t）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5{t}^{2}-4t+4}$，
則圓的方程為（x-$\frac{t+2}{2}$）²+（y-t）²=$\frac{5{t}^{2}-4t+4}{4}$，
把點(diǎn)$（{\frac{2}{5}，\frac{4}{5}}）$的坐標(biāo)代入圓方程，可知該方程恒成立，
則經(jīng)過點(diǎn)P，A，C，B四點(diǎn)的圓必定過圓$（{\frac{2}{5}，\frac{4}{5}}）$，
∴經(jīng)過P，A，C，B四點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)$（{\frac{2}{5}，\frac{4}{5}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及參數(shù)方程的應(yīng)用，輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．