Question

19．正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₁，a₄₀₃₁是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x²+6x-3的極值點(diǎn)，則log${\;}_{\sqrt{6}}}$a₂₀₁₆=1．

Answer 1

分析 f'（x）=x²-8x+6，由a₁，a₄₀₃₁是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的極值點(diǎn)，可得a₁•a₄₀₃₁=6，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：f'（x）=x²-8x+6，
∵a₁，a₄₀₃₁是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的極值點(diǎn)，
∴a₁，a₄₀₃₁是方程f'（x）=x²-8x+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a₁•a₄₀₃₁=6，
又∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，∴$a_{2016}^2={a_1}•{a_{4031}}=6$，
∴${log_{\sqrt{6}}}{a_{2016}}={log_{\sqrt{6}}}\sqrt{6}=1$．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．