Question

8．已知函數(shù)f（x）=2x³-3x²-ax+8，在x=-1處取得極值．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由已知可得f′（-1）=12-a=0，求得a值，則函數(shù)解析式可求，然后分別求出f′（1），f（1）的值，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程可求；
（Ⅱ）由f′（x）=0求出x值，列關(guān)于x、f′（x）、f（x）的關(guān)系表，由表格可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=6x²-6x-a，
由f′（-1）=12-a=0，解得a=12，
則f（x）=2x³-3x²-12x+8，
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=12時(shí)，x=-1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴a=12符合題意．
則f′（x）=6x²-6x-12，
∴f′（1）=-12，又f（1）=-5，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，-5）處的切線方程為：y+5=-12（x-1），
即12x+y-7=0；
（Ⅱ）f′（x）=0時(shí)，x=-1或x=2．
列關(guān)于x、f′（x）、f（x）的關(guān)系表：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-37	增函數(shù)	15	減函數(shù)	-12	增函數(shù)	-1

可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值為：f（-1）=15，最小值為：f（-3）=-37．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其最值的求法，是中檔題．