Question

5．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{30}}{6}$）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-2），且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，當(dāng)△OAB面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，求直線l的斜率k．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在求a時(shí)利用橢圓的定義比較簡(jiǎn)單；
（2）利用弦長(zhǎng)公式先求出|AB|，然后利用面積公式構(gòu)建關(guān)于斜率k的函數(shù)，由S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得k的值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由橢圓的定義可得2a=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{30}}{6}）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{30}}{6}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴a=$\sqrt{3}$，又c=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²-12kx+9=0，
依題意△=36k²-36＞0，
∴k²＞1（*） 
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（\frac{12k}{1+3{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{9}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{6\sqrt{{k}^{2}-1}}{1+3{k}^{2}}$，
由點(diǎn)到直線的距離公式得d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△OAB面積S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{6\sqrt{{k}^{2}-1}}{1+3{k}^{2}}$×$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{{k}^{2}-1}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．  
由S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{6\sqrt{{k}^{2}-1}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得：9k⁴-42k²+49=0，解得k²=$\frac{7}{3}$，則k=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴直線l的斜率k為±$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．