Question

當(dāng)x∈N⁺時(shí)，f（x）∈N⁺，對(duì)任何x∈N⁺都有f（n+1）＞f（n）且f（f（n））=3n，求：
（1）f（6）=

 

；
（2）f（1285）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（f（n））=3n，可得f（1）≠1，由f（x）∈N^*，且f（n+1）＞f（n），可得f（1）≥2，
進(jìn)而可得f（2）≤f（f（1））=3，f（2）＞f（1）≥2，進(jìn)而得到f（1），f（2），可得f（3）=f（f（2））=6，f（6）=f（f（3））=9；
（2）由類推可得：f（9）=f（f（6））=18，f（18）=f（f（9））=27，且f（k）=k+9…9≤k≤18，f（27）=f（f（18））=54，f（54）=f（f（27））=81，且f（k）=k+27…27≤k≤54…f（1458）=f（f（729））=2187，且f（k）=k+729…729≤k≤1458，計(jì)算即可得到f（1285）．

解答： 解：（1）∵f（f（n））=3n，
∴f（f（1））=3，
若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=3，與f（1）=1矛盾
故f（1）≠1 
∵f（x）∈N^*∴f（1）≥2，
∵f（x）在大于0上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（2）≤f（f（1））=3
又由f（2）＞f（1）≥2，
可得2≤f（1）＜f（2）≤3
故f（1）=2，f（2）=3
由 f（3）=f（f（2））=6，
則有f（6）=f（f（3））=9；
（2）f（9）=f（f（6））=18，
f（18）=f（f（9））=27---且f（k）=k+9…9≤k≤18，
f（27）=f（f（18））=54，
f（54）=f（f（27））=81---且f（k）=k+27…27≤k≤54，
f（81）=f（f（54））=162，
f（162）=f（f（81））=243---且f（k）=k+81…81≤k≤162，
f（243）=f（f（162））=486，
f（486）=f（f（243））=729---且f（k）=k+243…243≤k≤486，
f（729）=f（f（486））=1458，
f（1458）=f（f（729））=2187，---且f（k）=k+729…729≤k≤1458，
則f（1285）=1285+729=2014．
故答案為：9，2014．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)的函數(shù)值，正確理解f（x）∈N^*，且f（n+1）＞f（n）的含義，并由此類推出各段函數(shù)值是解答的關(guān)鍵．