Question

19．設(shè)f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，f''（x）是函數(shù)f'（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)f（x）的拐點．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有拐點，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且拐點就是對稱中心，
設(shè)函數(shù)g（x）=x³-3x²+4x+2，利用上述探究結(jié)果
計算：$g（\frac{1}{10}）+g（\frac{2}{10}）+g（\frac{3}{10}）+…+g（\frac{19}{10}）$=76．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)g（x）的對稱中心．由于函數(shù)的對稱中心為（1，4），可知g（x）+f（2-x）=8，由此能夠求出所給的式子的值．

解答 解：由g（x）=x³-3x²+4x+2，
得：g′（x）=3x²-6x+4，g″（x）=6x-6，
令g″（x）=0，解得：x=1，
∴函數(shù)g（x）的對稱中心是（1，4），
∴g（2-x）+g（x）=8，
故設(shè)$g（\frac{1}{10}）+g（\frac{2}{10}）+g（\frac{3}{10}）+…+g（\frac{19}{10}）$=m，
則g（$\frac{19}{10}$）+g（$\frac{18}{10}$）+g（$\frac{17}{10}$）+…+g（$\frac{1}{10}$）=m，
兩式相加得：8×19=2m，解得：m=76，
故答案為：76．

點評 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡計算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．