【題目】已知函數(shù)
(I)求函數(shù)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程;
(II)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)< kx恒成立,求k的范圍;
(III)設(shè)函數(shù),求函數(shù)h(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)見解析。
【解析】分析:(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(II)分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為恒成立求解.令,可求得函數(shù)的最大值為,進(jìn)而可得結(jié)論.(III)由分離參數(shù)可得,借助(II)中的結(jié)論并結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法可得函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).
詳解:(I)∵,
∴,
∴,
∴所求切線方程為,
即.
(II)由題意得恒成立等價于對恒成立.
令,則,
當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減,
∴當(dāng)時,有最大值,且最大值為,
∴.
∴實(shí)數(shù)k的范圍是.
(III)由,即,
得,
∴函數(shù)h(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在上的公共點(diǎn)的個數(shù).
由(II)得函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且的最大值為,
又,.
∴當(dāng)或者時,函數(shù)有0個零點(diǎn);
當(dāng)或者時,函數(shù)有1個零點(diǎn);
當(dāng)時,函數(shù)有2個零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐的外接球的表面積為25π,該三棱錐的三視圖如圖所示,三個視圖的外輪廓都是直角三角形,則其側(cè)視圖面積的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出以下結(jié)論,其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
①函數(shù)的零點(diǎn)為,則函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)時,函數(shù)值一定變號.
②相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號.
③函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),若滿足,則方程在區(qū)間上一定有實(shí)根.
④“二分法”對連續(xù)不斷的函數(shù)的所有零點(diǎn)都有效.
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(其中a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性,并說明理由.
(2)若,試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的單調(diào)性,并用函數(shù)單調(diào)性定義給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ , g(x)=x+lnx,其中a>0,且x∈(0,+∞).
(1)若a=1,求f(x)的最小值;
(2)若對任意x≥1,不等式f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,,平面BB1C1C底面ABCD,點(diǎn)、F分別是線段、BC的中點(diǎn).
(1)求證:AF//平面;
(2)求證:平面BB1C1C⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年10月19日,由中國工信部、江西省政府聯(lián)合主辦的世界VR(虛擬現(xiàn)實(shí))產(chǎn)業(yè)大會在南昌開幕,南昌在紅谷灘新區(qū)建立VR特色小鎮(zhèn)項(xiàng)目.現(xiàn)某廠商抓住商機(jī)在去年用450萬元購進(jìn)一批VR設(shè)備,經(jīng)調(diào)試后今年投入使用,計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用22萬元,從第二年開始,每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元,該設(shè)備使用后,每年的總收入為180萬元,設(shè)使用x年后設(shè)備的盈利額為y萬元.
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)使用若干年后,當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時,求該廠商的盈利額.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】遼寧號航母紀(jì)念章從2012年10月5日起開始上市,通過市場調(diào)查,得到該紀(jì)念章每枚的市場價(單位:元)與上市時間(單位:天)的數(shù)據(jù)如下:
上市時間天 | |||
市場價元 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述遼寧號航母紀(jì)念章的市場價與上市時間的變化關(guān)系:①;②;③;
(2)利用你選取的函數(shù),求遼寧號航母紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格;
(3)設(shè)你選取的函數(shù)為,若對任意實(shí)數(shù),關(guān)于的方程恒有個想異實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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