Question

已知函數(shù)f（x）=xe -

x

a

（其中a∈R，a≠0，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=kx²+（k-15）x-15（k＞1，k∈N₊），函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若當(dāng)x＞0時，2f′（-ax）＞g（x）恒成立，求最大的正整數(shù)k．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=e-

x

a

-

1

a

xe-

x

a

=-

1

a

(x-a)e-

x

a

，分a＜0、a＞0兩種情況討論：a＜0時由導(dǎo)數(shù)的符號可判斷f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，由單調(diào)性可求最大值；a＞0時再按照0＜a＜1、a≥1兩種情況討論可得單調(diào)性，從而可求最大值；
（2）x＞0，2f′（-ax）＞g（x）恒成立，即2（x+1）e^x＞（x+1）（kx-15）恒成立，亦即2e^x＞kx-15恒成立，設(shè)h（x）=2e^x-kx+15，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x＞0時，h（x）＞0（*）恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可求h（x）_min，從而有（*）式?h（x）_min=h（ln

k

2

）=k-kln

k

2

+15＞0，再令φ（x）=x-xln

x

2

+15（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)可判斷φ（x）的單調(diào)性，再由零點存在定理可判斷φ（x）的零點存在區(qū)間，根據(jù)函數(shù)φ（x）的符號即可求得結(jié)果；

解答： 解：（1）f（x）的定義域為R，f′（x）=e-

x

a

-

1

a

xe-

x

a

=-

1

a

(x-a)e-

x

a

，
①當(dāng)a＜0時，-

1

a

＞0，由f′（x）＞0得x＞a，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，此時，f（x）_max=f（1）=e-

1

a

．
②當(dāng)a＞0時，-

1

a

＜0，由f′（x）＞0得x＜a；由f′（x）＜0得x＞a，
∴f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在[0，a]上單調(diào)遞增，在[a，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（a）=ae^-1；
當(dāng)a≥1時，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）_max=f（1）=e-

1

a

．
綜上所述，f(x)max=

e- 1 a ，(a＜0或a≥1) ae-1，(0＜a＜1)

．
（2）由題設(shè)，g（x）=kx²+（k-15）x-15=（x+1）（kx-15），
f′（x）=e-

x

a

-

1

a

xe-

x

a

=（1-

1

a

x）e-

x

a

，
∵x＞0，2f′（-ax）＞g（x）恒成立，即2（x+1）e^x＞（x+1）（kx-15）恒成立，
∴當(dāng)x＞0時，2e^x＞kx-15恒成立，
設(shè)h（x）=2e^x-kx+15，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x＞0時，h（x）＞0（*）恒成立，
∵h′（x）=2e^x-k，∴h（x）在（0，ln

k

2

）上單調(diào)遞減，在（ln

k

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
故（*）式?h（x）_min=h（ln

k

2

）=k-kln

k

2

+15＞0，
設(shè)φ（x）=x-xln

x

2

+15（x＞0），
則φ′（x）=1-lnx-1+ln2=-lnx+ln2，
故φ（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
而φ（2e²）=2e²-2e²lne²+15=-2e²+15＞0，
φ（15）=15-15ln

15

2

+15=15（lne²-ln

15

2

）＜0，
故存在x₀∈（2e²，15），使得φ（x₀）=0，且當(dāng)x∈[2，x₀）時φ（x）＞0，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時φ（x）＜0，
又φ（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，φ（1）=16-ln

1

2

＞0，14＜2e²＜15，
故所求正整數(shù)k的最大值為14．

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，根據(jù)題目靈活構(gòu)造函數(shù)是解題關(guān)鍵，注意運用．