Question

19．已知二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，求二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式的所有有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，可得$\frac{1}{2}×{2}^{n}$=512，解得n．再利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，
∴$\frac{1}{2}×{2}^{n}$=512，解得n=10．
∴$（\sqrt{x}+\frac{1}{2\root{4}{x}}）^{10}$的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（\sqrt{x}）^{10-r}$$（\frac{1}{2\root{4}{x}}）^{r}$=2^-r${∁}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{3r}{4}}$．（r=0，1，2，…，10）．
∵5-$\frac{3r}{4}$∈Z，∴r=0，4，8，
∴所有有理項(xiàng)為T(mén)₁=${∁}_{10}^{0}×{2}^{0}×{x}^{5}$=x⁵，T₅=${∁}_{10}^{4}×{2}^{-4}×{x}^{2}$=$\frac{105}{8}{x}^{2}$，T₉=${∁}_{10}^{8}$×2^-8×x^-1=$\frac{45}{256x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．