Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q=3，前3項(xiàng)的和S₃=

13

3

．
（1）求等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=3na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

a1(1-33)

1-3

=

13

3

，由此能求出a_n=

1

3

×3n-1=3^n-2．
（2）由b_n=3na_n=n•3^n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的公比q=3，前3項(xiàng)的和S₃=

13

3

，
∴

a1(1-33)

1-3

=

13

3

，解得a1=

1

3

，
∴a_n=

1

3

×3n-1=3^n-2．
（2）∵b_n=3na_n=n•3^n-1，
∴Tn=1•30+2•3+3•32+…+n•3n-1，①
3T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ
=

1-3n

1-3

-n•3n
=（

1

2

-n）•3ⁿ-

1

2

，
∴T_n=（

n

2

-

1

4

）•3ⁿ+

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．