【題目】已知函數(shù),且函數(shù)處取到極值.

1)求曲線處的切線方程;

2)若函數(shù),且函數(shù)3個極值點,,證明:.

【答案】1;(2)證明見解析

【解析】

1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由求解值,則曲線處的切線方程可求;

2)求出函數(shù)的解析式,由,根據(jù)已知

三個解,存在兩個不同于的零點, 設(shè),求出取值范圍,結(jié)合的函數(shù)特征,可判斷是函數(shù)的兩個零點,構(gòu)造函數(shù),研究的單調(diào)性,把證明轉(zhuǎn)化為證明即可.

1,

函數(shù)處取到極值,,即.

,

∴曲線處的切線方程為;

2,

函數(shù)的定義域為,

,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

的最小值;有三個極值點,

,得.

的取值范圍為,

時,,,

;即,是函數(shù)的兩個零點.

,消去

,

的零點為,且.

上遞減,在上遞增.

要證明,即證

等價于證明,即.

,即證.

構(gòu)造函數(shù),則;

只要證明在單調(diào)遞減,

函數(shù) 單調(diào)遞減;

增大時,減小,增大,減小,

上是減函數(shù).

上是減函數(shù).

時, .

.

練習冊系列答案
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