Question

12．某校學生參加了“鉛球”和“立定跳遠”兩個科目的體能測試，每個科目的成績分為A，B，C，D，E五個等級，分別對應5分，4分，3分，2分，1分，該校某班學生兩科目測試成績的數(shù)據統(tǒng)計如圖所示，其中“鉛球”科目的成績?yōu)镋的學生有10人．

（Ⅰ）求該班學生中“立定跳遠”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；
（Ⅱ）若該班共有10人的兩科成績得分之和大于7分，其中有2人10分，3人9分，5人8分．從這10人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由“鉛球”科目中成績?yōu)镋的學生有10人，頻率為0.2，能求出該班有50人，由此能求出該班學生中“立定跳遠”科目中成績等級為A的人數(shù)．
（Ⅱ）設兩人成績之和為X，則X的值可能為：16，17，18，19，20，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及EX．

解答 解：（Ⅰ）∵“鉛球”科目中成績?yōu)镋的學生有10人，頻率為0.2，
∴該班有：$\frac{10}{0.2}$=50人，
∴該班學生中“立定跳遠”科目中成績等級為A的人數(shù)為：
50（1-0.375-0.375-0.150-0.020）=4，
∴該班學生中“立定跳遠”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)為4人．
（Ⅱ）設兩人成績之和為X，則X的值可能為：16，17，18，19，20，
P（X=16）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=17）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=18）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{13}{45}$，
P（X=19）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=20）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{45}$，
∴X的分布列為：

X	16	17	18	19	20
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{45}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{45}$

EX=$\frac{10×16+15×17+13×18+6×19+20×1}{45}$=$\frac{87}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求地，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．