Question

1．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（2，2），圓C：x²+y²-8y=0，過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求線段AB的最短長度；
（2）若線段AB的中點(diǎn)為M，求M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)弦AB長度最短時，AB⊥MC，即可求弦AB的長度；
（2）由題設(shè)知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，即可求M的軌跡方程．

解答 解：（1）圓C的方程可化為x²+（y-4）²=16，所以圓心為C（0，4），半徑為4．
當(dāng)AB⊥MC時弦AB最短，此時AB=4$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{CM}$=（x-4，y），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y），
由題設(shè)知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
故（x-4）（2-x）+y（2-y）=0，
即（x-3）²+（y-1）²=2．
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，
所以M的軌跡方程是（x-3）²+（y-1）²=2．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．