Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，∠BCD=60°．
（1）若點(diǎn)F，E分別在線段AP，BC上，AF=2FP，BE=2EC，求證：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）問在線段AB上，是否存在點(diǎn)Q，使得平面PAB⊥平面PDQ，若存在，求出點(diǎn)Q的位置；否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）在AD上取點(diǎn)G，使AG=2DG，連結(jié)EG、FG，推導(dǎo)出平面EFG∥平面CPD，由此能證明EF∥平面PDC．
（2）取AB中點(diǎn)Q，連結(jié)DQ，PQ，推導(dǎo)出存在中點(diǎn)Q，使得平面PAB⊥平面PDQ．

解答 證明：（1）在AD取點(diǎn)G，使AG=2DG，連結(jié)EG、FG，
∵F，E分別在線段AP，BC上，AF=2FP，BE=2EC，
∴FG∥PD，EG∥CD，
∵FG∩EG=G，PD∩CD=D，
FG、EG?平面EGF，PD、DC?平面PDC，
∴平面EFG∥平面CPD，
∵EF?平面EFG，∴EF∥平面PDC．
（2）在線段AB上，存在點(diǎn)Q，Q為AB的中點(diǎn)，使得平面PAB⊥平面PDQ．
理由如下：
∵在菱形ABCD中，∠BCD=60°，∴△ABD為等邊三角形，
∴DQ⊥AB，
又∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，
又DQ∩PD=D，DQ，PD?平面PDQ，
∴AB⊥底面PDQ，
又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PDQ，
∴在線段AB上，存在中點(diǎn)Q，使得平面PAB⊥平面PDQ．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，查滿足面面垂直的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．