Question

16．一張坐標(biāo)紙上涂著圓E：（x+1）²+y²=8及點(diǎn)P（1，0），折疊此紙片，使P與圓周上某點(diǎn)P'重合，每次折疊都會(huì)留下折痕，設(shè)折痕與EP'的交點(diǎn)為M．
（1）求M的軌跡C的方程；
（2）直線l：y=kx+m與C的兩個(gè)不同交點(diǎn)為A，B，且l與以EP為直徑的圓相切，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}∈[{\frac{2}{3}，\frac{3}{4}}]$，求△ABO的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）折痕為PP′的垂直平分線，則|MP|=|MP′|，推導(dǎo)出E的軌跡是以E、P為焦點(diǎn)的橢圓，且a=$\sqrt{2}$，c=1，由此能求出M的軌跡C的方程．
（2）l與以EP為直徑的圓x²+y²=1相切，從而m²=k²+1，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積、弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式，能求出△AOB的面積的取值范圍．

解答 解：（1）折痕為PP′的垂直平分線，則|MP|=|MP′|，
由題意知圓E的半徑為2$\sqrt{2}$，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2$\sqrt{2}$＞|EP|，
∴E的軌跡是以E、P為焦點(diǎn)的橢圓，且a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b²=a²-c²=1，
∴M的軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）l與以EP為直徑的圓x²+y²=1相切，則O到l即直線AB的距離：
$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即m²=k²+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，
∴△=16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）=8k²＞0，k²＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，∴$\frac{2}{3}≤\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}≤\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{2}≤{k}^{2}≤1$，
${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}×|AB|×1$
=$\frac{1}{2}×\sqrt{1+{k}^{2}}×\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{2（{k}^{4}+{k}^{2}）}{4（{k}^{4}+{k}^{2}）+1}}$，
設(shè)μ=k⁴+k²，則$\frac{3}{4}≤μ≤2$，
∴${S}_{△AOB}=\sqrt{\frac{2μ}{4μ+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2（4μ+1）}}$，$μ∈[\frac{3}{4}，2]$，
∵S_△AOB關(guān)于μ在[$\frac{3}{4}$，2]單調(diào)遞增，
∴$\frac{\sqrt{6}}{4}≤{S}_{△AOB}≤\frac{2}{3}$，∴△AOB的面積的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{2}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，考查圓、橢圓、根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積、弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式、換元法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．